Inhoudsopgave

Doel

Bij de module ‘Wiskunde’ komen de volgende onderwerpen aan bod: limieten, continuïeit van functies, differentiëen en integreren, exponentiële functies en de natuurlijke logaritme, matrixalgebra. Deze kennis stelt je in staat om van de meeste formules die je in de literatuur tegenkomt te begrijpen wat ze betekenen. Het is de bedoeling dat je voor je les van, zeg, maandag de stof doorgelezen hebt en een aantal sommen van ieder paragraaf hebt gedaan die voor maandag in het rooster staan.

Toetsvorm

De wiskunde stof is verweven in het tentamen. Het tentamen wordt aan het eind van het hele vak (na de statistiek module) afgenomen. Het tentamen bestaat uit twee delen: (1) een wiskunde en statistiek gedeelte en (2) een R en statistiek gedeelte. Voor de wiskunde module hoef je geen huiswerk in te leveren, je moet wel de opdrachten blijven doen en tijdens de werkcollege de opdrachten bespreken.

Rooster

Les materiaal

Les	Slides	Opmerkingen
Samenvatting 1	1 getallen en rekenregels	Numberphile: Griekse algebra
Samenvatting 2	2 functies	Numberphile: Problems with Zero
Samenvatting 3	3 differentieren
Samenvatting 4	4 exp(x), ln(y), kettingregel, optimaliseren
Samenvatting 5	5 Matrices, 05a Vectoren en getallen, 05b Matrices als lineaire functies van vectoren	OEFEN TENTAMEN

Samenvatting

Les 1 Vrijdag 5 september 2014

Vandaag hebben we het gehad over de algebraische operaties optellen en vermenigvuldigen. We zagen dat we met deze operaties de getallen lijn kunnen maken. Daarnaast hebben het gehad over optellen $a^{n} a^{m} = a^{n+m}$ en vermenigvuldigen $(a^{n})^{m} = a^{nm}$ van exponenten met een positieve grondtal $a > 0$ . Tijdens de werkcollege hebben we de sommen van Appendix A besproken.

Les 2 Maandag 8 september 2014

Vandaag hebben we vijf verschillende functie types besproken:
– polynomen $f(x) = c_{n} x^{n} + \ldots + c_{1} x^{1} + c_{0}$ ,
– rationale functies, bijvoorbeeld $f(x)={x+4 \over x^{2} +x - 4}$ ,
– de absolute waarde functie $f(x) = |x| = \sqrt{x^{2}}$ ,
– de faculteits functie $f(n) = n! = n (n-1) \ldots 1$ ,
– exponentiele functies $f(x) = e^{x} = \exp(x)$ of $f(x) = a^{x}, a >0$ en haar inverse $\ln(y)$ en $\log_{a}(y)$ respectievelijk.

De centrale thema was het gebruik van functies, waarbij we de context hebben gecreeerd waarin het nut heeft om vergelijkingen te simplificeren en te factoriseren, omdat dit ons helpt bij het vinden van nulpunten. Daarnaast hebben we een rijtje functies met hun inverse functies gegeven:

Naam:	$f: X \rightarrow Y$	$f^{-1}: Y \rightarrow X$	Opmerking
Optellen	$y=f(x)=x+a$	$f^{-1}(y) = y - a$	Voor alle $a$ gegeven en bekend
Vermenigvuldiging	$y=f(x)=ax$	$f^{-1}(y) = {y \over a}$	Voor alle $a \neq 0$ gegeven en bekend
Machtsverheffen	$y=f(x)=x^{r}$	$f^{-1}(y) = y^{1 \over r}$	Voor alle $x > 0$
Exponentieele functie	$y=f(x)=a^{x}$	$f^{-1}(y) = \log_{a}(y)$	Voor alle $a$ gegeven en bekend en $y > 0$

Daarnaast hebben we stiekem gekeken naar continuiteit.

Les 3 Woensdag 10 september 2014

Vandaag hebben we de rekenregels met de logarithme herhaalt en het over samenstellingen van functies gehad. We kunnen functies combineren:
– Som: $f+g(x) = f(x) + g(x)$ ,
– Verschil: $f-g(x) = f(x) - g(x)$ ,
– Product: $f \cdot g(x) = f(x) \cdot g(x)$ ,
– Quotient: ${f \over g}(x) = {f(x) \over g(x)}$
– Samenstelling: $f \circ g(x) = f \big ( g(x) \big )$ ; de een na de andere toepassen.

Daarnaast hebben we het concept van differentieren besproken, het vinden van een raaklijn op een specifiek punt. Dit hadden we dan geformaliseerd in een wiskundige definitie en daarop volgend hebben we rekenregels besproken en bewezen.

Les 4 Vrijdag 12 september 2014

Vandaag hebben we het gehad over Euler’s getal $e$ en de afgeleide van $f(x)=e^{x}=\exp(x)$ , namelijk, $f'(x)=[e^{x}]'=e^{x} = f(x)$ . Daarnaast hebben we het over de kettingregel gehad $[f \big (g(x) \big )]' = f' \big ( g(x) \big ) g'(x)$ . Eerst moeten we dan de samenstelling herkennen, de moeder functie differentieren de baby functie onveranderd invoegen en vermenigvuldigen met de afgeleide van de baby functie.

Ook hebben we het over optimalisatie gehad en om de extreme punten van een functie $f(x)$ te vinden moeten we eerst de afgeleide gelijkstellen aan nul. Voor deze $x$ (wellicht, meerdere, zeg $x_{0}, x_{1}$ ) waarvoor we het volgende hebben $f'(x_{0})=0$ en $f'(x_{1})=0$ weten we dat de functie een extreme waarden heeft bij $x_{0}, x_{1}$ . Om te bepalen of het een minimum of een maximum is moeten we de tweede afgeleide bepalen en de waarde van de tweede afgeleide bepalen in deze twee punten. Als de tweede afgeleide bij $x_{0}$ groter is dan nul, $f''(x_{0}) > 0$ , dan hebben we een minimum. Als de tweede afgeleide bij $x_{1}$ negatief is, $f''(x_{0}) < 0$ , dan hebben we een maximum. Integreren valt buiten de tentamenstof.

Les 5 Maandag 15 september 2014

Tijdens deze les hebben we het over matrix algebra gehad. We begonnen met vectoren $\vec{x}$ die de rol overnamen van getallen. Om aan te geven dat de vector $\vec{x}$ is opgebouwd uit $d$ reeele getallen schreven we $\vec{x} \in \R^{d}$ .

Evenzo, introduceerden we matrices $A$ die gezien kunnen worden als de richtingscoefficient van een lineaire functie en om aan te geven dat een matrix $A$ is opgebouwd uit $r$ rijen en $k$ kolommen, schreven we $A \in \R^{r \times k}$ .

Een belangrijk aspect van een matrix-vector (of matrix-matrix) vermenigvuldiging is het conformeren van de dimensies. Zo kun je alleen maar een matrix $A \in \R^{r \times k}$ alleen maar vermenigvuldigen met een vector van dimensies $k$ . Het resultaat is dan een vector van dimensie $r$ . Daarom schrijven we ook wel $A: \R^{k} \rightarrow \R^{r}$ .

De matrices die we uitgebreid besproken hadden gingen van $\R^{2}$ naar $\R^{2}$ . Daarbij hebben we een formule gegeven voor het uitrekenen van de inverse matrix en hebben we een interpretatie gegeven van de determinant, de eigenwaarden en eigenvectoren.

Matrix rekenen valt buiten de tentamenstof, maar ze kunnen je helpen met het oplossen van simultane vergelijkingen die wel tot het tentamenstof behoren. Hier kunnen jullie een OEFEN TENTAMEN vinden.

PML Wiskunde 2014-2015